Матрица поворот применяется для вращения системы координат или объекта, сцены.

Матрицы поворота вокруг основных осей.

Матрица поворота вокруг произвольной оси.

Обобщённая матрица поворота.

Хочется задавать положение объекта в пространстве однозначно. Достаточно очевидно что любое положение однозначно определяется 3 поворотами вокруг разных осей. Но встаёт вопрос в каком порядке вращать и как выбрать оси?

Обобщённую матрица поворота можно задать по разному. С одной стороны мы можем вращать объект вокруг неподвижных осей. С другой вокруг осей связанных с объектом ещё их называют локальными. Стоит вспомнить что операции умножения матриц не коммутативна поэтому для однозначного определения положения нужно знать не только 3 угла, но и схему умножения матриц.

Можно выделить 2 популярные схемы.
1) Матрица поворота через углы Эйлера.
2) Матрица поворота через углы летательного аппарата (ЛА): рыскание, тангаж и крен(yaw, pitch и roll).
В виду того что первая требует большого числа вычислений, то на практике обычно применяют вторую.

Матрица поворота через углы Эйлера.

Углы Эйлера - три угла однозначно определяющие ориентацию твёрдого тела, определяющие переход от неподвижной системы координат к подвижной.
Подвижная система координат это система координат привязанная к телу. Иногда говорят в мороженная в тело. Прежде чем дать определения углов нам понадобиться ещё одно. Линия узлов ON - линия пересечение плоскости OXY и Oxy

α (или φ) это угол между осью Оx и осью ON. Диапазон значений или [X,Y,Z,H ]

[x*,y*,z* 1] = , где Н ¹1, Н ¹0.

Обобщенная матрица преобразования 4´4 для трехмерных однородных координат имеет вид

е. [x,y,z, 1]*T(Dx,Dy,Dz)= [x+Dx,y+Dy,z+Dz, 1].

2. Трехмерное изменение масштаба.

Рассмотрим частичное изменение масштаба. Оно реализуется следующим образом:

Такой же результат можно получить при равных коэффициентах частичных изменений масштабов. В этом случае матрица преобразования такова:

4. Трехмерное вращение

Двухмерный поворот, рассмотренный ранее, является в то же время трехмерным поворотом вокруг оси Z . В трехмерном пространстве поворот вокруг оси Z описывается матрицей

Матрица поворота вокруг оси X имеет вид

Подматрицу 3´3 называют ортогональной, так как ее столбцы являются взаимно ортогональными единичными векторами.

Матрицы поворота сохраняют длину и углы, а матрицы масштабирования и сдвига нет.

скачать

Реферат на тему:

Матрица поворота

План:

Введение
• 1Матрица поворота в двумерном пространстве
• 2Матрица поворота в трёхмерном пространстве
• 3Свойства матрицы поворота

Литература

Введение

Матрицей поворота (или матрицей направляющих косинусов ) называется матрица, умножение любого вектора на которую не меняет его длины.

1.

Матрица вращения

Матрица поворота в двумерном пространстве

В двумерном пространстве поворот можно описать одним углом θ со следующей матрицей линейного преобразования в декартовой системе координат:

Положительным углам при этом соответствует вращение против часовой стрелки в обычной, правосторонней системе координат, и по часовой в левосторонней системе координат.

Сам поворот происходит путём умножения матрицы поворота на вектор, описывающий вращаемую точку:

.

2. Матрица поворота в трёхмерном пространстве

Матрицами вращения вокруг оси декартовой правой системы координат на угол α в трёхмерном пространстве являются:

, , ,

В трёхмерном пространстве для описания поворота можно использовать

Матрицы поворота вектора в декартовой системе координат, соответствующие первым двум способам задания поворота:

Однако, поскольку умножение матриц не коммутативно, то есть: , следовательно, положение системы координат после поворота вокруг трех осей будет зависеть от последовательности поворотов, то существует 6 различных видов матрицы поворота:

• 1) Поворот около осей: X -> Y -> Z
• 2) Соответственно: X -> Z -> Y
• 3) Y -> X -> Z
• 4) Y -> Z -> X
• 5) Z -> X -> Y
• 6) Z -> Y -> X

Получить же нужную матрицу можно путем последовательного перемножения матриц поворота около одной оси (приведенных выше) в соответствии с желаемым порядком.

3. Свойства матрицы поворота

Если - матрица, задающая поворот вокруг оси на угол φ, то:

Литература

• Лурье А. И. Аналитическая механика - М.:Физматлит - 1961 г. - 824 с.

8.1.1. Преобразование координат в трехмерном пространстве.

B основе программ аффинных преобразований пространственных объектов, а также их про­е­ци­ро­ва­ния на картинную плоскость лежит аппарат однородных координат (см., на­при­мер, СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ). При этом все необходимые для построения проекции и установления нуж­ного ракурса преобразования координат описыва­ются матрицами размером 4 ´ 4 и пред­став­ля­ются в виде суперпозиции некоторых основных преобразований: переноса точки в пространстве на фиксированный вектор, поворота вокруг указанной оси на задан­ный угол, масштабирования вдоль какой-либо оси, сдвига, перспек­тивы и про­е­ци­ро­ва­ния на одну из главных координатных плоскос­тей.

Рис.8.1. Декартова система координат, проекция P’ точки P на плоскость XZ, сетка, на которой задана поверхность, и сечения, параллельные плоскостям XZ и YZ.

Основные преобразования координат. Pассмотрим некоторую декартову систему координат (рис.8.1). Любая точка пространства представляется в ней вектор-матрицей вида (х у z). Mы будем пользоваться однородными координатами точки в пространстве (х у z 1).

B качестве картинной плоскости выберем плоскость XZ, описы­ваемую уравнением Y = 0. Проекция точки объекта на эту плоскость получается в результате умножения (х у z 1) ×A, где

задает преобразование проецирования на плоскость XZ.

Поворот вокруг заданной оси (X, Y и Z соответственно) на указанный угол a описываются следующими матрицами:

где а = sin a, b = соs a. Положительным считается поворот в направлении против часовой стрелки, если смотреть с конца оси, вокруг которой поворачивается объект.

Mатрицы преобразований переноса на фиксированный вектор и масштабирования имеют следующий вид:

Здесь (t x , t y , t z) – вектор переноса; s x , s y , s z — масштабные множители вдоль осей X, Y и Z соответственно, 1/s – множитель общего масштабирования.

Сдвиг заключается в том, что одна из координат точки (зави­симая координата) изменяется на величину, пропорциональную одной из двух оставшихся координат (сдвигающей координате). Пусть зависимой координатой будет координата X, а сдвигающей – коорди­ната Y, тогда матрица сдвига будет иметь вид:

где F – коэффициент сдвига. Проекцию точек объекта на плоскость XZ из центра проекции C можно получить с помощью преобразования центрального проецирования. Eго матрица:

Здесь центр проекции лежит на оси Y и имеет Y-координату, равную (-H), где H > 0 (см. рис.8.1).

C помощью основных преобразований координат можно получить практически произвольные плоские геометрические проекции.

Pассмотрим сначала случай параллельного проецирования. В за­висимости от того, какой угол образует направление проецирования с картинной плоскостью, параллельные проекции делятся на прямоу­гольные (например, аксонометрические проекции) и косоугольные. B случае прямоугольных проекций направление проецирования пер­пендикулярно картинной плоскости. В случае косоугольных проекций направление проецирования образует с картинной плоскостью угол, отличный от прямого. Более подробные сведения об этих типах про­екций можно найти, например, в СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.

Более общие аксонометрические проекции можно получить с по­мощью двух последовательных поворотов объекта (сначала вокруг оси Z на некоторый угол Az, а потом вокруг оси X на угол Aх) и затем ортогонального проецирования на плоскость XZ. Для двух наиболее распространенных типов аксонометрических проекций — изометрии и диметрии — углы поворота имеют следующие значения: Az = -45 ° , Aх = 35 ° и Az = -20 ° , Aх = 20 ° .

Hа рис.8.2 приведены примеры изометрической и диметрической проекций одной и той же поверхности, показано также как при этом проецируются на картинную плоскость оси декартовой системы коор­динат.

Для построения косоугольных проекций удобно воспользоваться преобразованием сдвига. Одну из косоугольных проекций, например, можно построить следующей последовательностью преобразований:

1. сдвиг, в котором зависимой осью является ось X, сдвигаю­щей осью — ось Y; коэффициент сдвига F = 1 в случае, если задана «положительная» проекция (рис.8.3, б), и F = -1, если требуется «отрицательная» проекция (рис.8.3, а);

2. сдвиг, в котором зависимой является ось Z, сдвигающей — ось Y и коэффициент сдвига F = 1;

3. проецирование на плоскость XZ.

B случае если ни одна из упомянутых стандартных параллельных проекций (изометрия, ди­мет­рия и косоугольная проекция) по ка­ким-либо причинам не устраивает, можно пос­тро­ить требуемую про­екцию с помощью переноса, поворота, масштабирования и сдвига.

Используя эти преобразования, можно также расположить нужным образом изо­бра­жа­е­мый объект в пространстве и затем построить какую-либо стандартную проекцию.

Рис.8.2. Диметрическая и изометрическая проекции поверхности, а также осей декартовой системы координат.

C помощью основных преобразований координат легко также фор­мируется преобразование, которое позволит получать центральную проекцию объекта из произвольного центра проекции на плоскость, проходящую через начало координат перпендикулярно лучу зрения. Параллельная проекция тоже может быть задана по-другому — вектором направления проецирования, начало которого лежит в точ­ке (0,0,0), а конец определяется программистом.

Tаким образом, для построения произвольной проекции графи­ческого объекта достаточно сформировать матрицу преобразования, являющегося суперпозицией перечисленных выше основных преобразо­ваний координат. Умножая матрицу координат произвольной точки справа на матрицу результирующего преобразования, получим коор­динаты проекции этой точки на картинную плоскость в соответствии с выбранным способом проецирования.

Рис.8.3. «Отрицательная» (а) и «положительная» (б) косоуголь­ные проекции поверхности, а также осей осей декартовой системы координат.

Далее описаны программы, реализующие основные преобразования координат, некоторые стандартные типы проекций, а также другие средства, необходимые для построения произвольных плоских гео­метрических проекций объектов.

Программы преобразований. Чтобы построить желаемую проекцию трехмерного объекта, нужно задать соответствующее преобразова­ние.

Программы, определяющие преобразования, являются по сути установочными. Последовательность обращений к ним задает резуль­тирующее преобразование, соответствующее некоторому способу проецирования. Программы рисования будут использовать подготов­ленную матрицу преобразования для изображения объектов в выбран­ной проекции.

Kаждая из программ, устанавливающих свое преобразование, формирует матрицу раз­ме­ром 4 ´ 4 и умножает ее слева на матрицу текущего преобразования. B результате преобразования будут выполняться в том порядке, в котором они задавались. Hачальные ус­та­нов­ки выполняет программа INIT, которая формирует единичную матрицу. Обращение к ней отменяет уже накопленное преобразова­ние. Очевидно, когда требуется получить но­вое результирующее преобразование, необходимо начинать с обращения к этой програм­ме.

Получать некоторые стандартные проекции графических объектов позволяют программы ISOMET, DIMET, CABIN, VIEW, AXONOM. Однако иногда необходимо предварительно преобразовать объект (располо­жить некоторым образом в пространстве). Для этой цели можно вос­пользоваться программами, задающими поворот, растяжение, пере­нос, сдвиг. Это программы: TDROT, TDSCAL, TDTRAN, SHEAR.

Любое текущее преобразование можно сохранить (программа SAVETR) и при желании восстановить (программа SETTR). Bообще с помощью программы SETTR можно установить в качестве текущего преобразования произвольное преобразование, расширив тем самым круг основных преобразований координат.

Программа INIT производит инициализацию результирующего преобразования. Программа без параметров.

Программа TDTRAN(DX, DY, DZ) задает перенос объекта в про­странстве от­но­си­тель­но начала координат. Параметры программы DX,DY, DZ определяют вектор пе­ре­но­са.

Программа TDROT(NAXES,ALPHA) задает поворот системы коорди­нат относительно указанной оси на заданный угол. Eе параметры:

NAXES номер оси, относительно которой выполняется поворот: Кроме того, если NAXES < 0, угол поворота считается заданным в радиа­нах, NAXES > 0 — в градусах; ALPHA угол поворота: ALPHA > 0 — поворот выполняется против часовой стрелки, относительно оси, вокруг которой выполняется поворот; ALPHA < 0 — поворот выполняется по часовой стрелке.

Программа TDSCAL(NAXES,SCALE) позволяет выполнить растяжение (сжатие) вдоль ука­зан­ной оси и, возможно, симметричное отражение объекта. Параметры программы сле­ду­ю­щие:

NAXES номер оси, вдоль которой выполняется растяжение (сжатие): SCALE коэффициент растяжения (сжатия): SCALE ³ 1 — растяжение в SCALE раз, SCALE О (0,1) — сжатие в 1/SCALE раз, SCALE < 0 симметричное отражение относительно соответству­ющей координатной плоскости или начала координат и растяжение в |SCALE| раз или сжатие в 1/|SCALE| раз.

Программа SHEAR(I,J,F) определяет сдвиг. Параметры про­граммы:

I номер сдвигающей координаты: J номер зависимой координаты; F коэффициент сдвига.

При I = J данное преобразование вырождается в преобразование масштабирования вдоль I-ой оси с коэффициентом растяжения равным (F+1).

Программа ISOMET формирует матрицу результирующего преобра­зования для по­лу­че­ния изометрической проекции с учетом текущего преобразования.

6.Перенос и повороты в трехмерном пространстве.

Программа без па­ра­мет­ров.

Программа DIMET позволяет сформировать матрицу результирую­щего пре­об­ра­зо­ва­ния для получения диметрической проекции с уче­том текущего преобразования. Прог­рам­ма без параметров.

Программа CABIN(J) позволяет сформировать матрицу результи­рующего преобразования для получения косоугольной проекции с учетом текущего преобразования. Параметр программы J определяет вид косоугольной проекции. При J = 1 получается положительная проекция, а при J = -1 — отрицательная проекция.

Программа VIEW(X,Y,Z) позволяет сформировать матрицу цент­рального проецирования на плоскость, перпендикулярную лучу зре­ния. Параметры программы:

X,Y,Z координаты центра проекции (точки зрения).

Изменяя координаты точки зрения можно получать различные проекции объекта. Для получения нужного ракурса иногда бывает удобнее перемещать в пространстве сам объект, оставляя центр проекции неподвижным. Этого можно достичь обращением к програм­мам TDROT и TDTRAN (до вызова программы VIEW).

При обращении к программе VIEW надо следить, чтобы центр проекции не оказался внутри изображаемого объекта, иначе резуль­таты работы программы рисования THREED будут непредсказуемы.

Программа AXONOM(X,Y,Z) формирует матрицу результирующего преобразования для получения аксонометрической проекции с учетом текущего преобразования. Hаправление проецирования определяется вектором, соединяющим точку (X,Y,Z) с началом координат.

A одномерный массив длины 16.

Программа SETTR(A) позволяет занести в матрицу текущего преобразования содержимое заданного массива A. Предполагается, что в массиве A последовательно записаны столбцы матрицы разме­ром 4 ´ 4.

Bспомогательные и служебные программы.

Программа HCUNIT(A) формирует единичную матрицу A размером 4 ´ 4.

Программа HCMULT(A,B) перемножает две квадратные матрицы четвертого порядка A ´B. Pезультат помещается на место матрицы A.

Программа HCPRSP(H) реализует преобразование центрального проецирования. Параметр H задает Y-координату центра проекции, расположенного на оси Y (H > 0).

Программа HCINV(X,Y,Z,XP,YP,ZP) вычисляет координаты (XP,YP,ZP) центра проекции с учетом обратного преобразования координат. Предварительно вычисляется матрица обратного преобра­зования.

Программа HCROT1(X,Y,Z) позволяет найти результирующее преобразование, переводящее двумя последовательными поворотами точку A(X,Y,Z) в точку с координатами .

Рассмотрим задачу о нахождении направляющих косинусах, задающих ориентацию подвижной системы координат Oxyz относительно некоторой, назовем ее неподвижной, системой координат OXYZ. Исходную систему координат подвижного трехгранника обозначим Ox 0 y 0 z 0 и до поворота она соответственно совпадала с системой координат OXYZ. Пусть трехгранник Oxyz переместился из положения Ox 0 y 0 z 0 в текущее в результате одного поворота на угол около оси On, заданной единичным ортом в системе координат OXYZ. Ось On может занимать разное направление, не обязательно совпадающим с одной из осей трехгранника OXYZ. Представим используемые системы координат и их связи граф-схемой:

- матрица направляющих косинусов, задающая ориентацию трехгранника Ox v y v z v , одна из осей которого (пусть первая ось Ox v) задает ориентацию оси поворота On;

- матрица поворота относительно оси On .

Тогда искомая матрица конечного поворота определяется соотношением

.

Или раскрывая выражение и используя свойства (1.9) , получим матрицу конечного поворота в следующем виде

(1.11)

Направляющие косинусы, задающие ориентацию оси On поворота ПО на угол . Таким образом, положение подвижной системы координат задается с помощью четырех параметров: , .

Матричная форма формулы Эйлера

Пусть в системе координат СК m задана точка M, которая определена вектором

где – проекции вектора на оси системы координат СК m , что отмечено нижним индексом “m”.

Определим линейную скорость точки М в проекциях на оси системы координат СК m . Согласно формуле Эйлера имеем

. (1.12)

Здесь – вектор угловой скорости системы координат СК m относительно системы координат СК s , выраженный в проекциях этого вектора на оси системы координат СК m .

Используя матричную форму векторного произведения, запишем

Запишем полученный результат в матричной форме

, (1.13)

Где (1.14)

Индекс “~ ” (тильда) указывает на кососимметричную форму данной матрицы.

Формула Пуассона

В традиционной форме обозначения угловую скорость можно представить в виде

Заметим, что в формуле (1.13) неявно было положено условие

В общем случае, когда выведем рабочее соотношение другим способом.

Продифференцируем соотношение

Или в другой форме

(1.18)

В двумерном пространстве поворот можно описать одним углом θ со следующей матрицей линейного преобразования в декартовой системе координат:

Положительным углам при этом соответствует вращение вектора против часовой стрелки в обычной, правосторонней системе координат, и по часовой в левосторонней системе координат.

Сам поворот происходит путём умножения матрицы поворота на вектор

Матрица поворота в трёхмерном пространстве

Матрицами вращения вокруг оси декартовой правой системы координат на угол α в трёхмерном пространстве являются:

Вращение вокруг оси x:

,

Вращение вокруг оси y:

,

Вращение вокруг оси z:

,

В трёхмерном пространстве для описания поворота можно использовать

Матрицы поворота вектора в декартовой системе координат, соответствующие первым двум способам задания поворота:

Однако, поскольку умножение матриц не коммутативно, то есть: , следовательно, положение системы координат после поворота вокруг трех осей будет зависеть от последовательности поворотов, то существует 6 различных видов матрицы поворота:

1) Поворот около осей: X -> Y -> Z

2) Соответственно: X -> Z -> Y

3) Y -> X -> Z

4) Y -> Z -> X

5) Z -> X -> Y

6) Z -> Y -> X

Получить же нужную матрицу можно путем последовательного перемножения матриц поворота около одной оси (приведенных выше) в соответствии с желаемым порядком.

Билет 33. Свойства обратной матрицы

33) Обра́тная ма́трица - такая матрица A −1 , при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E :

1), где обозначает определитель.

2)для любых двух обратимых матриц A и B .

3)где * T обозначает транспонированную матрицу.

4)для любого коэффициента .

5)Если необходимо решить систему линейных уравнений Ax = b , (b - ненулевой вектор) где x - искомый вектор, и если A − 1 существует, то x = A − 1 b . В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.

Матричный метод решения (метод решения через обратную матрицу) систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем.

Пусть дана система линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем):

Тогда её можно переписать в матричной форме:

AX = B , где A - основная матрица системы, B и X - столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

Умножим это матричное уравнение слева на A − 1 - матрицу, обратную к матрице A :

Так как A − 1 A = E , получаем X = A − 1 B . Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A:

Для однородной системы линейных уравнений, то есть когда вектор B = 0, действительно обратное правило: система AX = 0 имеет нетривиальное (то есть ненулевое) решение только если det A = 0. Такая связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений носит название альтернативы Фредгольма.

Билет 34. Теорема о связи решений однородной и неоднородной СЛАУ.

Неоднородная система: Ax=B, B≠0.

Однородная система: Ах=0.

Теорема: 1. Если вычесть два решения неоднородной системы, то получится решение однородной системы.

2. Если к решению неоднородной системы прибавить решение однородной системы, то получится решение неоднородной системы.

Доказательство:

1) с 1 ,с 2 – два решения неоднородной системы.

Ас 1 =В; Ас 2 =В. Из первой системы вычтем вторую систему: Ас 1 -Ас 2 =0; А(с 1 -с 2)=0; с 1 -с 2 – решение однородной системы.

2) Ас н =В – решение неоднородной системы.

Ас о =0 - решение однородной системы.

Ас н + Ас о =В. А(с н + с о)=В. с н + с о – решение неоднородной системы.

Билет 35. Несовместность СЛАУ. Метод Гауса.

Если система решений не имеет, то она называется несовместной.

Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса подразделяется на два этапа:

1)На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме, либо устанавливают, что система несовместна. А именно, среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой, перемещают его на крайнее верхнее положение перестановкой строк и вычитают получившуюся после перестановки первую строку из остальных строк, домножив её на величину, равную отношению первого элемента каждой из этих строк к первому элементу первой строки, обнуляя тем самым столбец под ним. После того, как указанные преобразования были совершены, первую строку и первый столбец мысленно вычёркивают и продолжают пока не останется матрица нулевого размера. Если на какой-то из итераций среди элементов первого столбца не нашёлся ненулевой, то переходят к следующему столбцу и проделывают аналогичную операцию.

2)На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построить фундаментальную систему решений, либо, если все переменные являются базисными, то выразить в численном виде единственное решение системы линейных уравнений. Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную (а она там всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх. Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки.

Уравнение y=kx+b называется уравнением прямой с угловым коэффициентом; k - угловой коэффициент, b - величина отрезка, который отсекает прямая на оси Оу, считая от начала координат. Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угловым коэффициентом прямой. k=tg(альфа).

Угол между двумя прямыми:

Первая прямая: L 1 , n 1 (p 1 ,q 1 ,r 1).

Вторая прямая: L 0 , n 0 (p,q,r).

L 1 // L 0 ; n 1 // n 0 ; p 1 /р=q 1 /q= r 1 /r – условие параллельности 2 прямых.

L 1 ﬩ L 0 ; n 1 ﬩n 0 ; (n 1 ,n)=0; pp 1 +qq 1 +rr 1 =0 – условие параллельности 2 прямых.

Cosφ=(n 1 ,n)/|n 1 |*|n 0 |

В плоскости Лобачевского две прямые могут либо пересекаться, либо могут быть параллельными в некотором направлении, либо расходящимися. Поэтому в плоскости Лобачевского существует три вида пучков прямых:

1) пучок прямых, пересекающихся в одной точке, называемой центром пучка; такой пучок называется центральным или эллиптическим;

2) пучок прямых, параллельных в заданном направлении некоторой прямой, называемой осью пучка; такой пучок называется параболическим;

3) пучок расходящихся прямых, перпендикулярных к некоторой прямой, называемой базой пучка; такой пучок называется гиперболическим.

Взаимное расположение прямых на плоскости.

Прямые линии в пространстве могут быть параллельными, пересекающимися и скрещивающимися. Рассмотрим подробнее каждый случай.

1. Параллельные прямые линии.

Параллельными называются две прямые, которые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Проекции параллельных прямых на любую плоскость (не перпендикулярную данным прямым) - параллельны. Если AB//CD то A 1 B 1 //C 1 D 1 ; A 2 B 2 //C 2 D 2 ; A 3 B 3 //C 3 D 3 (рис.33). В общем случае справедливо и обратное утверждение.

Матричное описание вращения твёрдого тела упрощает многие операции; однако, для того, чтобы полностью описать ориентацию вращающегося твёрдого тела, необходимо использовать все девять элементов матрицы поворота. Непосредственно эти элементы не составляют полной системы обобщённых координат, с помощью которых можно описать ориентацию вращающегося твёрдого тела относительно абсолютной системы координат.

В качестве обобщённых координат можно использовать углы Эйлера j , q и y .

Таблица 3.1. Три системы углов Эйлера

Первая из систем углов Эйлера обычно используется при описании движения гироскопов и соответствует следующей последовательности поворотов (рис. 3.2):

Рисунок 3.2. Первая система углов Эйлера

R j , q , y = R z , j ×R u , q ×R w , y =
=

=
. (3-2)

R j , q , y , может быть также получен в результате выполнения последовательности следующих поворотов вокруг осей неподвижной системы координат: сначала на угол y вокруг оси OZ , затем на угол q вокруг оси OX , затем на угол j вокруг оси OZ .

На рисунке 3.3 показана вторая система углов Эйлера, определяемая следующей последовательностью поворотов:

Поворот на угол j вокруг оси OZ (R z , j).

Поворот на угол q вокруг оси OV (R v , q).

Поворот на угол y вокруг повёрнутой оси OW (R w , y).

Результирующая матрица поворота имеет следующий вид:

R j , q , y = R z , j ×R v , q ×R w , y =
=

=
. (3-3)

Поворот, описываемый матрицей R j , q , y для этой системы углов Эйлера, может быть получен также в результате выполнения последовательных поворотов: на угол y вокруг оси OZ , на угол q вокруг оси OY , на угол j вокруг оси OZ .

Рисунок 3.3. Вторая система углов Эйлера

Ещё одну систему углов Эйлера составляют так называемые углы крена , тангажа и рыскания . Эти углы обычно применяются в авиации для описания движения самолётов.

Они соответствуют следующей последовательности поворотов:

Поворот на угол y вокруг оси OX (R x , y ) – рыскание.

Поворот на угол q вокруг оси OY (R y , q ) – тангаж.

Поворот на угол j вокруг оси OZ (R z , j ) – крен.

Результирующая матрица поворота имеет вид:

R j , q , y = R z , j ×R y , q ×R x , y =
=

=
. (3-4)

Поворот, описываемый матрицей R j , q , y в переменных «крен, тангаж, рыскание» может быть также получен в результате выполнения следующей последовательности поворотов вокруг осей абсолютной и подвижной систем координат: на угол j вокруг оси OZ , затем на угол q вокруг повёрнутой оси OV , на угол y вокруг повёрнутой оси OU (продольная ось аппарата – Z ) (рис. 3.4).

Рисунок 3.4. Крен, тангаж, рысканье (третья система углов Эйлера)